Democrazia e suoi teoremi limitativi

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La nozione di democrazia (etimologicamente “governo del popolo”) nelle odierne società complesse occidentali viene a coincidere con governo della maggioranza.

In generale, la votazione a maggioranza viene considerata come il mezzo attraverso cui il popolo governa. Sia direttamente, scegliendo fra alternative in un referendum, che indirettamente, scegliendo fra candidati in una elezione.

Definiamo democratiche, forme di stato (es. repubblicana, monarchica, dittatoriale), che includono nella loro organizzazione una nozione di democrazia caratterizzata almeno dalle seguenti condizioni:

  1. Libertà di scelta: ciascuno è libero di votare per il candidato che preferisce;
  2. Dipendenza dal voto: il risultato di una votazione è determinato unicamente dai voti dati ai candidati;
  3. Monotonicità: se un candidato vince in una votazione prendendo un certo numero di voti, vince anche in ogni votazione in cui prenda più voti;
  4. Anonimato: non ci sono votanti privilegiati (tutti i voti sono uguali);

Accettate queste assunzioni, che implicitamente riempiono il concetto di “democrazia”, possiamo – al di là di ogni filosofia politica – dimostrare matematicamente (Teorema di Kenneth  May, 1952) che la votazione a maggioranza, è l’unica alternativa democratica, l’unico procedimento di scelta fra due (e solo due) candidati.

Questo dimostra che anche in filosofia politica, in scienze politiche, si possono esprimere opinioni non opinabili, ma certe!

Questa certezza è confinata (nella votazione a maggioranza; efficiente metodo di scelta fra due alternative)  a due soli contendenti o coalizioni; perché non appena si considerano tre o più candidati (o coalizioni) insorgono difficoltà! Consideriamo, a mò di esemplificazione, la presenza di più alternative: l’idea ovvia è di votarle due a due, e scegliere quella che riporta la maggioranza contro tutte le rimanenti. Già nel 1785 Condorcet mostrò che tale alternativa potrebbe non esserci: anche se le preferenze dei singoli votanti rispetto alle varie alternative sono ordinate linearmente, la votazione può infatti produrre un ordine sociale circolare (Paradosso di Condorcet). Vuol dire che mentre le scelte, le preferenze individuali sono transitive (se x precede y e y precede z, allora x precede z); le scelte sociali non lo sono (Teorema di K. Arrow), generano un ordine sociale che non esiste, ossia l’insieme delle preferenze individuali non spiega e non genera il risultato collettivo! La problematicità si esprime nell’incompatibilità fra libertà individuale, (che permette a ciascuno di scegliere un qualunque ordine di preferenze), e armonia, ordine sociale (che richiede e necessita di una certa uniformità fra gli ordini individuali).

Il paradosso di Condorcet non lascia scelta. O si votano tutte le alternative una contro l’altra, e allora può ovviamente succedere che nessuna ottenga la maggioranza. Oppure si votano le  varie  alternative in un certo ordine, e allora la vincitrice dipende dall’ordine scelto. Inoltre un particolare ordine di votazioni può permettere a un’alternativa di vincere anche quando ne esista un’altra che le è unanimemente preferita. Questo mostra come democraticamente si possano pilotare le votazioni nelle volute direzioni, l’importanza dei sistemi elettorali, e come anche in democrazia possano darsi “colpi di mano” ingenuamente attribuiti solo alle dittature!

Inoltre, affinché il paradosso si dia, “ovvero l’ordine sociale generato dalla votazione per maggioranza deve essere  circolare”,  è necessario che ogni alternativa sia considerata la peggiore da qualcuno! Questo spiega il  perché  in tempi di stabilità politica, la votazione a maggioranza risulti più adeguata: “esistono alternative che nessuno considera le peggiori (quelle di centro)”. Viceversa, nei momenti di rivolgimento dimostra la sua impotenza, poiché la radicalizzazione delle preferenze crea le condizioni per l’insorgenza del paradosso.

Un’altra votazione che consente la scelta fra più alternative è la votazione a pluralità: si presentano tutte le alternative simultaneamente, ciascun votante ne sceglie una, e vince quella che riceve il maggior numero di voti.  Già nel 1781 Jean-Charles de Borda scoprì che si imponeva una scelta fra i due metodi, poiché pluralità e maggioranza sono fra loro incompatibili (es. si considerino n votanti che debbano scegliere rispetto alle alternative A, B,C). I due sistemi di votazione producono ordini sociali contrapposti. Si potrebbe pensare ad una correzione tramite voto pesato, in cui i votanti associno dei pesi numerici alle varie alternative;  purtroppo si perviene al fatto che il risultato elettorale può dipendere dall’assegnazione dei pesi.

La dimostrazione estesa dell’impossibilità di un sistema democratico di votazione è quindi racchiusa nel Teorema di Arrow a cui è stato assegnato, nel 1972, il premio Nobel per l’economia.

Il Teorema si applica in generale a qualunque situazione in cui sia necessaria una scelta collettiva fra un insieme limitato di alternative (es. di prodotti di mercato, di politiche aziendali in un consiglio d’amministrazione, di rappresentanti in un’assemblea di azionisti, ecc.). Rende manifesta la difficoltà e l’impossibilità nel passaggio dalla microeconomia dei soggetti individuali, quali produttori e consumatori, alla macroeconomia dei gruppi, quali i mercati. Più in generale mostra la difficoltà  insita nel voler giustificare i comportamenti globali di un sistema, di un aggregato, di una totalità, sulla base dei comportamenti individuali delle sue componenti.

Ancora, Amartya Sen (Premio Nobel per l’economia, 1998), partendo da ipotesi analoghe a quelle di Arrow, ha dimostrato che: in una società, al massimo, un individuo può avere dei diritti (Teorema di A. Sen, 1970), ossia, ha dimostrato che, in uno stato che voglia far rispettare contemporaneamente efficienza paretiana e libertà (quest’ultima intesa come la presenza di uno spazio in cui le sole preferenze dell’individuo determinano la scelta), possono crearsi delle situazioni in cui al più un individuo ha garanzia dei suoi diritti. Egli dimostra dunque matematicamente la possibile inesistenza dell’ottimo paretiano nel liberismo. Tramite una generalizzazione del metodo di Arrow ad insiemi di vettori ad n dimensioni, l’economista Herbert Scarf  ha mostrato, nel 1962, l’inesistenza della mano invisibile per mercati con più di due beni i cui prezzi siano interdipendenti. Il risultato di Arrow rappresenta uno dei primi approcci alle scienze sociali tramite il formalismo matematico; tramite questo e altri lavori Arrow ha contribuito significativamente all’evoluzione dell’economia politica nel corso del XX secolo nella direzione di un maggior rigore matematico. Il primo problema di un mercato paretiano è che non ci dice nulla su come il reddito tra gli individui venga ripartito. Potrebbe risultare efficiente che un soggetto abbia “100” e l’altro nulla. Il limite dell’efficienza paretiana è proprio in questo punto. D’altra parte una situazione non equa può non essere accettabile dalla società e ciò giustifica l’intervento da parte dello Stato per ridistribuire le risorse tra gli individui.  Il secondo problema è nel fatto che un mercato perfettamente concorrenziale può non essere raggiunto per diverse cause, il mercato cioè fallisce. Per cui le teorie che hanno teorizzato un potere endogeno del mercato di raggiungere il livello di massima efficienza incontrano dei limiti etico-sociali e di situazioni di fallimento del mercato. Uno dei teoremi che mostra tutte le difficoltà insite nell’organizzare una teoria sociale paretiana è il Teorema di Holmstrom.

Purtroppo persino i sistemi elettorali proporzionali, per il Teorema di Michel Balinsky e Peyton  Young dimostrato nel 1982 : “non esiste nessun metodo di distribuzione dei seggi che soddisfi i principi di proporzionalità e di monotonicità” si sono rivelati contraddittori.

In sintesi: un’analisi superficiale della nozione di democrazia (definita tramite i criteri di votazione), correlata alla libertà individuale (intesa come scelta arbitraria) e al mercato (la cui coerenza la si può dimostrare solo per due soli beni i cui prezzi siano interdipendenti, e di come il suo ottimo paretiano possa coesistere per la propria coerenza con l’iniquità) ci conduce a concludere che le certezze democratiche su cui riposano le nostre riflessioni sono infondate e che diventano stridenti quanto più allarghiamo la nostra analisi, per giungere a grondare sangue e mostrare morte di carne viva, allorquando decidiamo di spiegare e porre rimedio alle iniquità del mondo. I tanti teoremi limitativi indicano che abitiamo uno spazio democratico ravvivato dall’autocontraddizione logica.

Bisogna sfruttare le certezze delle limitazioni della democrazia, più che le accorate glorie, al fine di realizzarne una più equa e magnificata.

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