Euclide, il filosofo dei postulati e dei teoremi

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Euclide

Euclide di Alessandria è il più eminente matematico dell’antichità, meglio conosciuto per il suo trattato di matematica Elementi.

Il fatto che questo trattato sia ancora un punto di riferimento fa di Euclide il principale insegnante di matematica di tutti i tempi.

Tuttavia si sa poco della sua vita, tranne che insegnò ad Alessandria d’Egitto intorno al 300 a.C., durante il regno di Tolomeo I.

Ci sono varie informazioni su Euclide fornite da alcuni autori ma non tutte sembrano affidabili.

Una di queste è quella fornita da autori arabi, che affermano che Euclide era figlio di Naucrate e che era nato a Tiro.

Gli storici della matematica credono che questo sia del tutto fittizio e sia stato semplicemente inventato dagli autori.

Un’altra informazione ci dice che, invece, fosse nato a Megara.

Ma questo sembra un errore; in effetti c’era un Euclide di Megara, filosofo vissuto circa 100 anni prima del matematico Euclide di Alessandria.

Non è proprio una coincidenza che possa sembrare che ci fossero due uomini dotti chiamati Euclide.

In effetti Euclide era un nome molto comune in questo periodo e questa è un’ulteriore complicazione che rende difficile scoprire informazioni riguardanti il nostro matematico.

Probabilmente studiò per un periodo all’Accademia di Platone ad Atene, ma anche questo non ha riscontro, perché Alessandria, grazie ai Tolomei e alla loro prestigiosa Biblioteca, era già diventata una degna rivale di quella ateniese.

Gli Elementi

Euclide è spesso indicato come il padre della geometria, scrivendo forse il libro di testo matematico più importante e di successo di tutti i tempi, lo Stoicheion o Elementi.

Scrisse anche lavori sulla divisione delle figure geometriche in parti in rapporti dati, sulla catottrica (la teoria matematica degli specchi e della riflessione) e sull’astronomia sferica (la determinazione della posizione degli oggetti sulla sfera celeste), oltre a importanti testi sull’ottica e la musica.

Gli Elementi erano una raccolta e una spiegazione lucida e completa di tutta la matematica conosciuta del suo tempo, compreso il lavoro di Pitagora, Ippocrate, Teeteto ed Eudosso.

In tutto, contiene 465 teoremi e dimostrazioni, descritti in uno stile chiaro, logico ed elegante, e utilizzando solo un compasso e una riga.

Euclide rielaborò i concetti matematici dei suoi predecessori in un insieme coerente, per poi diventare noto come geometria euclidea, che è ancora valida oggi come 2.300 anni fa.

Stabilì, per sempre, il modello per l’argomento matematico, seguendo deduzioni logiche da assunzioni iniziali (assiomi e postulati) al fine di stabilire teoremi comprovati.

I cinque assiomi generali

  1. Le cose uguali a una medesima cosa sono uguali tra loro.
  2. Se cose uguali vengono aggiunte a cose uguali, gli interi (somme) sono uguali.
  3. Se cose uguali vengono sottratte da cose uguali, i resti (differenze) sono uguali.
  4. Le cose che coincidono tra loro sono uguali tra loro.
  5. Il tutto è maggiore della parte.

I cinque postulati geometrici

  1. È possibile tracciare una linea retta da qualsiasi punto a qualsiasi altro punto.
  2. È possibile estendere una linea retta finita continuamente in una linea retta (cioè un segmento di linea può essere esteso oltre uno dei suoi estremi per formare un segmento di linea arbitrariamente grande).
  3. È possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza qualsiasi (raggio).
  4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro (cioè “metà” di un angolo retto).
  5. Se (in un piano) una retta, intersecando altre due rette, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due (angoli) retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finiscono per incontrarsi dalla parte detta.

Quest’ultimo è il famoso quinto postulato di Euclide.

I due teoremi di Euclide

Ma la cosa più famosa che ci ha lasciato sono sicuramente i suoi due teoremi, che ognuno di noi avrà incontrato nel suo percorso scolastico

Primo teorema di Euclide: In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su uno dei due cateti è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.

Secondo teorema di Euclide: In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

Conclusioni

Euclide in realtà ha fatto scoperte che oggi ci sembrano banali, ma paragonate ai suoi tempi sono rivoluzionarie.

È anche vero che suoi libri sono in buona parte basati sulle opere di suoi predecessori, ma la maggior parte delle prove sono partite dalla sua sete di scienza e conoscenza.

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