Modelli matematici
I modelli matematici sono una varietà di rappresentazioni formali di idee o conoscenze relative ad un fenomeno.
Occorre partire dalla Realtà (sempre complessa) di un fenomeno per selezionare fatti e aspetti che si ritengono importanti (idee e conoscenze) e tradurli in un Modello matematico (formule ed equazioni).
Bisogna, poi, verificare l’adeguatezza del modello nell’interpretare il fenomeno ed eventualmente ripensare la scelta degli aspetti selezionati e alla loro modellizzazione.
Poiché il fenomeno non contiene la legge e la sua traduzione in termini matematici non è immediata è necessario considerare una pluralità di approcci e modelli possibili di uno stesso fenomeno.
E’ necessario, quindi, analizzare la loro inevitabile parzialità e provvisorietà rispetto al fenomeno osservato.
Inoltre, la flessibilità del rapporto modello/realtà è mostrata attraverso un’interazione dialettica tra tipi diversi di modelli applicati allo stesso fenomeno.
Il modello è una rappresentazione semplificata di una porzione di realtà che interessa in un certo problema e tale processo di rappresentazione può essere così schematizzato:
R= parte di realtà che ci interessa.
AR= aspetti di R che vogliamo mettere a fuoco.
ER= Elementi di R (e relazioni tra essi) da cui dipende AR.
M= modello di R.
AM= aspetti di M che emergono da EM.
EM= Elementi di M (e relazioni tra essi) corrispondenti a ER.
Le frecce tratteggiate indicano che si sono operate delle semplificazioni e approssimazioni nelle scelte e nelle associazioni effettuate, mentre quelle intere indicano una dipendenza esatta tra gli elementi.
Nell’ambito della modellizzazione matematica la fase preliminare è la delimitazione di AR, poi viene la scelta di ER e quindi l’associazione di ER a EM.
Effettuato il passaggio R->M, ci può essere una elaborazione del modello e poi la reinterpretazione M->R di tali elaborazioni in R, che deve tener conto delle semplificazioni operate.
Note
Uno studioso arriverebbe a conoscere perfettamente la realtà se riuscisse ad individuare l’equazione e i parametri che governano il fenomeno in studio.
Di conseguenza, l’ipotesi scientifica che sta alla base di un esperimento può essere posta sotto forma di modello matematico.
Ad esempio, potremmo ipotizzare che la degradazione di un erbicida nel terreno segua una legge di decadimento esponenziale, rappresentabile, in genere, con l’equazione: C=ae-kt + ε
C è la concentrazione dell’erbicida in un dato momento T ed a e k sono i parametri.
Per quanto riguarda l’elemento stocastico, possiamo assumere che: ε∼N (0, σ) e quindi C∼N (ae-kt ,σ).
Questo modello è assolutamente generale; se vogliamo applicarlo ad un caso specifico, es: degradazione di un erbicida di nome caio a 20°C, possiamo realizzare un esperimento nel quale contaminiamo un terreno con Caio, lo mettiamo a 20 e, in tempi diversi, preleviamo aliquote, campioni di terreno da sottoporre a determinazione gascromatografica.
L’analisi dei dati raccolti consisterà nell’individuare a, k,σ, con una tecnica definita model fitting.
Queste tecniche di analisi dei dati possono essere utilizzate per verificare che le osservazioni sperimentali si conformino ad un modello dato (goodness of fit) oppure per confrontare due ipotesi alternative poste sotto forma di modelli diversi (model comparison).
Ogni esperimento scientifico non è altro che un’operazione di campionamento da una certa distribuzione di probabilità.
Questo campionamento può essere simulato impiegando un generatore di numeri casuali (Metodo Monte Carlo).
I valori campionati non riflettono le caratteristiche della popolazione, nel senso che la media e la deviazione standard del campione differiscono da quelle della popolazione.
È esattamente ciò che capita durante un esperimento! Le popolazioni (insiemi) di soggetti sperimentali e delle loro misure sono un oggetto largamente ignoto e inconoscibile.
Infatti, le caratteristiche dei soggetti della popolazione sono, in parte, determinate in base a relazioni causa-effetto, ma, in altra parte, esse sono puramente stocastiche.
Tuttavia è ragionevole supporre che esse seguano una qualche funzione di probabilità/densità (assunzione parametrica).
Se questo è vero, allora possiamo utilizzare queste funzioni e i loro integrali per calcolare la probabilità di ottenere una certa misura o un certo insieme di misure.
Oltre alla distribuzione gaussiana, che è largamente la più importante, esistono molti altri modelli stocastici, sia per eventi continui che discreti.
Ricordiamo solamente la distribuzione t di Student, la distribuzione binomiale, la distribuzione Χ2 la distribuzione F di Fisher.
Conoscere perfettamente la popolazione di partenza vuol dire conoscere µ (la media, che è la componente deterministica) e σ (deviazione standard, la componente stocastica del modello.
Conclusioni
Schematicamente possiamo classificare i modelli matematici in deterministici e stocastici.
Modelli deterministici: sono i più semplici.
Le variabili di input assumono valori fissi (quindi generano elaborazioni dei fenomeni in studio di tipo deterministico poiché non associano alcuna incertezza alle variabili in ingresso).
È altresì vero che i risultati, le variabili di output, restituite da questi modelli possono comunque implementare entro certi range, la variabilità e l’effetto del caso (utilizzando metodi statistici).
Il fenomeno verrà descritto in maniera deterministica, ossia i risultati numerici (dell’andamento fenomenico) indicheranno, a secondo del calcolo scelto, lo scenario medio, peggiore o migliore, dell’evoluzione.
Tutte le altre infinite possibilità diventano pertanto tutte egualmente probabili.
Modelli stocastici: più complessi.
Le variabili d’ingresso sono intervalli di probabilità (espressione della variabilità casuale e non, dei dati) e pertanto le variabili in uscita, i risultati, sono probabilistici.
Il fenomeno in studio verrà pertanto descritto in termini di probabilità e la sua predicibilità riguarderà l’intera gamma di possibilità del suo evolvere.
A fondamento della distinzione dei modelli matematici, in deterministici e stocastici, vi è la descrizione fisica dei fenomeni spiegabili, rispettivamente, in termini di fisica classica e di meccanica quantistica.
In fisica classica si assume che: noto lo stato iniziale di un sistema fisico e le forze agenti su di esso è possibile individuare con precisione quasi assoluta l’evolversi del sistema applicando le leggi della meccanica newtoniana.
In linea di principio si possono ottenere metodi di misura sempre più precisi sì da ridurre ad infinitesimi l’indeterminazione della misura delle variabili di stato (riduzione ad infinitesimi degli errori sperimentali di misura).
In meccanica quantistica i sistemi fisici possono essere descritti solo in termini di probabilità come l’egida del principio d’indeterminazione di Heisemberg impone:
conoscere una variabile con precisione impone l’aumento di imprecisione su un’altra ad essa correlata, coniugata, sino a rendere una delle due variabili coniugate, in alcuni casi, indeterminata, secondo la relazione Δx Δpx ≥ ħ. dove h tagliato, ridotta, o costante di Dirac, è: ℏ=h/2π {Es: posizione e velocità di una particella}.
Il valore della costante di Planck, h= 6,62607015 x detta anche quanto d’azione, è una costante fisica che rappresenta l’azione minima possibile o elementare.
Essa determina che l’energia e le grandezze fisiche fondamentali a essa legate non evolvano in modo continuo, ma siano quantizzate, ovvero possano assumere solo valori multipli di tale costante.
La costante di Planck ha le dimensioni di un’energia per un tempo e nel sistema di unità di misura delle unità atomiche compone l’unità di misura del momento angolare.
Essa permette la quantizzazione di grandezze come l’energia, la quantità di moto e il momento angolare.
La costante di Planck è legata alla quantizzazione delle grandezze dinamiche che caratterizzano lo stato della materia a livello microscopico, ovvero delle particelle che compongono materia e luce: elettroni, protoni, neutroni e fotoni.
Ad esempio, l’energia E trasportata da un’onda elettromagnetica con frequenza costante ν può assumere solo valori pari a E=nhν dove n= 0, 1,2, … Altre volte è più conveniente usare la velocità angolare ω=2πν che dà E=nhν.
Nel caso di un atomo, la quantizzazione del momento angolare determina nello spettro di emissione atomico righe di emissione corrispondenti a una serie di numeri quantici.
La costante di Planck definisce anche il limite di accuratezza nella determinazione dei valori di coppie di variabili come Energia-Tempo e Posizione-Impulso.
L’indeterminazione nella misurazione della posizione Δx e l’indeterminazione nella misurazione della quantità di moto lungo la stessa direzione ,Δpx ,sono infatti vincolate dalla relazione.
Tuttavia le relazioni di indeterminazione rappresentano delle medie statistiche i cui valori derivano da un elevato numero di misure.
Va quindi rilevato che da una verifica più approfondita risulta la relazione Δx Δpx ≥1/2 ℏ .
I postulati della meccanica quantistica, così come i dettagli del processo di misura, stabiliscono una serie di relazioni e disuguaglianze d’indeterminazione che possono essere correlate di volta in volta all’impossibilità di conoscere i dettagli di un sistema senza perturbarlo (indeterminazione di Heisenberg), all’indeterminazione intrinseca ai sistemi quantistici (disuguaglianza di Robertson) o all’impossibilità di determinare contemporaneamente nello stesso sistema il valore di due osservabili complementari (principio di complementarità di Bohr).
Poiché il principio d’indeterminazione esprime l’impossibilità di determinare con precisione a priori illimitata i valori di due variabili incompatibili, l’osservatore dovrà scegliere quale misura privilegiare e disporre gli strumenti di misura di conseguenza.
Si noti che il principio d’indeterminazione non si applica a tutte le possibili coppie di osservabili. Infine, tale principio non pone invece vincoli alla misura di una singola grandezza, ad esempio l’energia, che può essere determinata con precisione arbitraria.
L’indeterminazione delle condizioni iniziali e delle variabili dei sistemi fisici è inerente alla natura ed h ne esprime la misura, ossia stabilisce la scala minima, il quanto, a cui i fenomeni possono darsi, manifestarsi; ovverosia i sistemi fisici possiedono informazione finita e discreta.
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